概述

在数字图像处理中，常常需要将彩色图像转换为灰度图像，此时需要使用亮度方程 Y = r R + g G + b B。只要将彩色图像每个像素的 R,G,B 值代入方程，即可计算出对应的 Y 值。然而，常用的亮度方程有若干个版本，区别在于 r,g,b 三个系数稍有差异，许多小伙伴常常被如下问题困扰：

● 亮度方程是哪里来的？
● 亮度方程（的系数）是如何确定的？
● 我应该使用哪个版本的亮度方程？

实际上，这是一个色度学的基本问题，下面就让我们从源头开始一起探索一下。

亮度方程是哪里来的？

全球第一个广泛使用的彩色电视标准是美国 NTSC（国家电视标准委员会）于 1953 年提出的，故也称作 NTSC 制式。可以说，彩色电视是 CIE 1931$\bar{x}(\lambda),\bar{y}(\lambda),\bar{z}(\lambda)$标准色度观察者与 XYZ 色空间最早的商业应用之一。

图1 CIE 1931 xy 色品图（图像来源：https://en.wikipedia.org/wiki/CIE_1931_color_space#/media/File:CIE1931xy_blank.svg）

由 CIE 1931 xy 色品图不难看出，选择红、绿、蓝三种色光叠加，容易混合出更多种类的颜色，因此，电子图像显示设备都不约而同地选择了这三种基色，这就是亮度方程中出现 R,G,B 的原因。然而，在彩色电视诞生前，黑白电视广播就已开始商用，所谓“黑白”实际上是指灰度图像，因此黑白电视只需要一路表征图像亮度的信号，即亮度方程中的 Y。而亮度方程正是在这种背景下诞生的，它在 Y 与 R,G,B 之间搭建了一座桥梁，使得彩色电视信号可以兼容黑白电视接收机。当然，彩色电视接收机还需要除 Y 之外的另外两路信号，方能还原出彩色图像。

电视是为广播而生的，而广播是一对多的，因此，接收机的成本要尽可能低。因此，彩色电视信号以上述显示三基色为基础，便于接收机进行图像信号处理与显示。与数字图像的 R,G,B 像素值的意义相同，彩色电视信号携带的信息是这三个基色的“数量”。如此一来，就产生两个问题： 1. 这三个基色究竟是哪三种颜色？ 2. 每一份基色的数量为何？

以上两个问题的答案，就“隐藏”在彩色图像相关的信源标准中。

电视是为广播而生的，而广播是一对多的，因此，接收机的成本要尽可能低。因此，彩色电视信号以上述显示三基色为基础，便于接收机进行图像信号处理与显示。与数字图像的 R,G,B 像素值的意义相同，彩色电视信号携带的信息是这三个基色的“数量”。如此一来，就产生两个问题： 1. 这三个基色究竟是哪三种颜色？ 2. 每一份基色的数量为何？

以上两个问题的答案，就“隐藏”在彩色图像相关的信源标准中。

亮度方程（的系数）是如何确定的？
以 1953 年的 NTSC 彩色电视标准为例，标准定义了三个基色以及基准白色的 xy 色品坐标。

由以上色品坐标以及色品坐标之和为 1（即 x+y+z = 1）的定义，我们可计算出三基色的色品坐标 z，并将其列于矩阵 C 中
$\rm{C}= \begin{bmatrix} x_{[R]} & x_{[G]} & x_{[B]} \\ y_{[R]} & y_{[G]} & y_{[B]} \\ z_{[R]} & z_{[G]} & z_{[B]} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.67 & 0.21 & 0.14 \\ 0.33 & 0.71 & 0.08 \\ 0.00 & 0.08 & 0.78 \end{bmatrix} \tag{1}$

如果将颜色看作是色空间中的向量，那么，以上色品坐标就定义了 NTSC [R][G][B] 这三个基向量在 CIE 1931 XYZ 色空间中的方向，也就是回答了“这三个基色究竟是哪三种颜色”的问题。然而，向量的长度（也就是每一份基色的数量）待定。我们知道，对于色光来说，“数量”是通过亮度来体现的。那么，每一份基色的亮度又如何确定呢？
在定义一个新的色空间或显示系统时，为了方便，我们一般遵循一个习惯：1 [W] = 1 [R] + 1 [G] + 1 [B]，即 1 份基色 [R]、1 份基色 [G]、1 份基色 [B] 相加混合可以匹配 1 份（即亮度为 1 的）基准白色 [W]，即
$\begin{bmatrix} X_{[W]} \\ Y_{[W]} \\ Z_{[W]} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_{[R]} & X_{[G]} & X_{[B]} \\ Y_{[R]} & Y_{[G]} & Y_{[B]} \\ Z_{[R]} & Z_{[G]} & Z_{[B]} \end{bmatrix}\tag{2}$ $\frac{1}{y_{[W]}} \cdot \begin{bmatrix} x_{[W]} \\ y_{[W]} \\ z_{[W]} \end{bmatrix}= C \cdot\begin{bmatrix} k_{[R]} \\ k_{[W]} \\ k_{[W]} \end{bmatrix} = \rm{C\cdot k}\tag{3}$ $\frac{1}{0.3162} \cdot \begin{bmatrix} 0.3101 \\ 0.3162 \\ 0.3737 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.67 & 0.21 & 0.14 \\ 0.33 & 0.71 & 0.08 \\ 0.00 & 0.08 & 0.78 \end{bmatrix} \cdot \rm{k}\tag{4}$ 我们解出式 (4) 中的 k 并将其右乘到矩阵 C 后，可得$Y_{[R]} = 0.2989, Y_{[G]} = 0.5866, Y_{[B]} = 0.1144$。这便是每一份三基色的亮度，如此，我们便得到了三个基向量的长度（即每一份基色的“数量”）。根据定义，亮度方程计算的是三基色以一定比例相加混合时产生的总亮度，也就是$\rm{Y= Y_{[R]} R + Y_{[G]} G + Y_{[B]} B}$。我们再对比一下 NTSC 1953 标准中的给出的亮度方程，$\rm{Y = 0.299 R + 0.587 G + 0.114 B}$，与我们计算出的结果一致。

我应该使用哪一个版本的亮度方程？

由以上分析可知，当三基色的色品坐标确定后，使用基准白色的色品坐标可计算出三基色的亮度，亮度方程也就随之确定了。因此，从色度学角度看，亮度方程的选择，取决于相应的三基色与基准白色的色品坐标，而这些坐标均有标准可参考。不过，以下两个问题值得注意。第一，由于 NTSC 1953 的颜色标准过于“理想化”，并未得到大规模普及，实际使用的模拟彩色电视广播的三基色及基准白的色坐标与 NTSC 1953 有差异，但 NTSC 1953 标准的亮度方程却被这些标准沿用。显然，从色度学视角出发，这是不正确的。第二，大部分彩色电视系统中的 R,G,B 分量均是经过非线性的伽马校正（OETF）之后的产物，因此，电视工程中将非线性的 R',G',B' 值带入使用色度学方法计算出的亮度方程。显然，这亦是不正确的。

显然，以上两个问题均会导致亮度方程计算出的 Y 不能准确地表征亮度。然而，如果从“对标”的角度，也只好参考标准，将错就错。毕竟，随着电子影像的使用从电视广播拓展到各行各业，这种错误早已“深入人心”、“遍地开花”。